Mittwoch, 18. Februar 2015

Hilberts Hotel


Unendlichkeit hat etwas Faszinierendes für mich. Kann es tatsächlich etwas geben, das niemals endet? Unendlich groß ist, unendlich viel ist; wie gesagt, faszinierend und ich kann es mir nicht vorstellen. Mathematiker wären wohl keine Mathematiker, würde sie nicht auch auf diesem Gebiet Differenzierungen vornehmen. Z.B. gibt es da das abzählbar Unendliche …

Dazu gibt es ein sehr schönes und wie ich finde recht anschauliches Parodoxon des Mathematikers David Hilbert:
Ein ermüdeter Wanderer kommt in ein Hotel auf der Suche nach einer Übernachtungsmöglichkeit. Der erst vor kurzem neu eingestellte Portier an der Rezeption teilt ihm mit, dass bedauerlicherweise alle Zimmer ausgebucht seien. Das hört der Hotelmanager im Nebenraum und spurtet herbei, um den Portier zu berichtigen. „Aber, aber lieber Portier, unser Hotel hat doch unendlich viele Zimmer; selbstverständlich können wir hier unserem Wanderer ein Zimmer anbieten.“ „Ähm, wie das denn?“ interessierte sich der leicht verwirrte Portier.
„Nun, der Gast aus Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der Gast aus Zimmer 2 nach Zimmer 3, der aus 3 in die 4 usw. bis alle wieder ein Zimmer haben. Unser Wanderer bekommt dann Zimmer 1.“

Als ich das Paradoxon zum ersten Mal las, fand ich es irgendwie einleuchten, wenn auch nicht so ganz befriedigend. Mich störte, dass alle Gäste umziehen mussten. Warum gab man dem neuen Gast nicht einfach das letzte freie Zimmer? Wüsste man doch jetzt nur noch die Nummer des letzten freien Zimmers.

Ich für mich habe dazu ein Erklärung gefunden: Welches ist denn nun das letzte Zimmer, schließlich haben wir es doch mit unendlich vielen Zimmer zu tun, wenn auch abzählbar. Die Anzahl unserer unendlich abzählbaren Zimmer sei n. Welche Zimmernummer soll das denn nun sein? Der Gast auf n zieht nach n+1, der Gast auf n-1 zieht nach n, der auf n-2 auf n-1, bis alle umgezogen sind und schlussendlich Zimmer 1 frei geworden ist, in das unser Wanderer nun einziehen kann. Mit dieser Methode kann das Hotel nun aber auch ganze Busladungen voll von neuen Gästen unterbringen.

Interessant und irgendwie doch auch verrückt.


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